Les grandeurs \((\vec E, \vec D, \vec B,\vec H)\) sont couplés entre eux et définissent un tout indivisible appelé le
champ électromagnétique.
Formalisme mathématique
General expression
Maxwell equation for any medium
- \(\nabla.\vec D={{\rho\quad\text{with}\quad \vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P}}\)
- \(\nabla.\vec B={{0\quad\text{no magneton} }}\)
- \(\nabla\wedge \vec E={{-\frac{\partial \vec B}{\partial t} }}\)
- \(\nabla\wedge \vec H={{\vec j+\frac{\partial\vec D}{\partial t}\quad\text{with}\quad \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M}}\)
With:- \(\rho\) : charge density of the medium
- \(\vec P\) : polarisation of the medium
- \(\vec j\) : current density
- \(\vec M\) : magnetization of the medium
- \(\vec D\) : displacement field
- \(\vec B\) : magnetic field
- \(\vec E\) : electric field
- \(\vec H\) : magnetizing field
Champ éléctrique
Equation de Mawxell-Faraday
>$${{\vec{Rot} (\vec E)}}={{-\frac{\partial\vec B}{\partial t} }}$$
Equation de Maxwell-Gauss
>$${{Div(\vec E)}}={{\frac{\rho}{\epsilon_0} }}$$
>$$div(\vec D)=\rho$$
>Avec:
>- \(\rho\): densité volumique de charge
>- \(\vec D\):
Induction électrique
>
Théorème de Gauss
Champ magnétisme
>
Equation de Maxwell-Ampère
>$${{\vec{Rot}(\vec B)}}={{\mu_0\vec j +\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} }}$$
>$${{\vec{rot}(\vec H)}}={{\vec j+\frac{\partial \vec D}{\partial t} }}$$
>Avec:
>- \(\vec j\): vecteur densité de courant
>- \(\epsilon_0\): permitivité du vide
>- \(\mu_0\): perméabilité du vide
>- \(\vec D\):
Induction électrique
>
>Ajout au
Théorème d'Ampère
Equation de Maxwell (Abscence de magnétons)
$$Div(\vec B)=0$$
Dans un milieu diélectrique
Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique
$$\vec{rot}(\vec D)=\rho$$
$$\vec{rot}(\vec H)=\vec j+\frac{\partial \vec D}{\partial t}$$
$$div(\vec E)=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
$$div(\vec B)=0$$
Avec:- \(\vec D={{\epsilon_0\vec E+\vec P}}\) (\(\vec P\): polarisation)
- \(\vec H={{\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M}}\) (\(M\): magnétisation)
Dans un milieu magnétique
Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique
Milieu non chargé:
$$\vec{rot}(\vec B)={{\mu_0 (\vec j_l+\vec j_m)+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} }}$$
$$\vec{rot}(\vec H)={{\vec j_l+\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} }}$$
Avec:- \(\vec j_m\): le courant volumique d'aimantation
- \(\vec j_l\): le courant volumique libre de charge
- \(\vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M\)
